Найти неопределенный интеграл:

\[\int \left(\frac{1-x}{x}\right)^2 dx.\]

Решение.

Используя следующую формулу сокращенного умножения:

\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]

для подынтегрального выражения имеем

\[\left(\frac{1-x}{x}\right)^2 = \frac{(1-x)^2}{x^2} = \frac{1-2x+x^2}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} + 1.\]

Следовательно,

\(\begin{multline}
\int \left(\frac{1-x}{x}\right)^2 dx = \int \left(\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} + 1\right) dx = \\
= \int \frac{1}{x^2} dx - \int\frac{2}{x} dx + \int 1 dx = -\frac{1}{x} - 2\ln |x| + x + C.
\end{multline}\)

Проверка. Для проверки правильности вычислим производную найденного решения, и она должна равняться функции под знаком интеграла:

\(\begin{multline}
\left(-\frac{1}{x} - 2\ln |x| + x + C\right)' = (-x^{-1})' + (-2\ln |x|)' + (x)' + (C)' = \\
= -1\cdot (-1)\cdot x^{-2} - 2\cdot\frac{1}{x} + 1 + 0 = \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} + 1.
\end{multline}\)